Add frustum culling to report

reports/RelatorioFase2.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \documentclass[12pt, a4paper]{article}
 
 \usepackage{amsmath}
+\usepackage{bm}
 \usepackage{array}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage[portuguese]{babel}
@@ -85,7 +86,164 @@ \section{Modelo estático do sistema solar}
 
 \section{Extras}
 
-\textbf{\color{red} TODO - extras}
+\section{\emph{Frustum culling}}
+
+Cada \emph{draw call} tem um custo elevado para o desempenho da aplicação. Logo, procurando reduzir
+o número de \emph{draw calls}, foi implementado \emph{frustum culling}, para apenas ser requisitada
+à GPU a renderização das entitidades totalmente ou parcialmente no \emph{view frustum} da câmara.
+
+Seria muito computacionalmente intensivo verificar se a geometria de um modelo se encontra dentro ou
+fora do \emph{view frustum}, pelo que se encapsulam todos os modelos em esferas que, devido à sua
+geometria simples, permitem uma verificação rápida da sua visibilidade no \emph{view frustum}. No
+entanto, visto que estas esferas podem ser um pouco maiores do que os modelos em si, é possível que
+algumas entidades fora do ecrã sejam desenhadas, visto que parte das suas esferas ainda podem
+intersetar os planos do \emph{view frustum}. Para mitigar este problema, formas geométricas
+encapsuladoras mais complexas poderiam ser utilizadas, visto que estas se poderiam adaptar melhor à
+geometria dos modelos. No entanto, o uso destas formas complexas conduziria a testes de visibilidade
+mais caros, possivelmente anulando os benefícios de desenhar um menor número de entidades.
+
+Quando um modelo é carregado, é necessário calcular a esfera que o encapsula. Em primeiro lugar, o
+seu centro é calculado como o centro de massa de todos os pontos, como mostra a expressão abaixo,
+onde $M$ é o modelo, uma sequência de pontos tridimensionais:
+
+$$
+C = \frac{1}{|M|} \sum_{p \in M} p
+$$
+
+Depois, o raio da esfera pode ser determinado como a distância entre o centro da esfera e o ponto
+mais longínquo do mesmo, como mostra a expressão abaixo, onde $d$ é a função de distância cartesiana
+entre dois pontos:
+
+$$
+r = \max \left \lbrace d(C, p) \mid p \in M \right \rbrace
+$$
+
+É também necessário saber como uma esfera encapsuladora é afetada quando o objeto que encapsula
+sofre uma transformação no mundo. Considere-se uma matriz de transformação aplicada ao objeto (em
+coordenadas do mundo), originada através da aplicação de translações, rotações, e escalas. A matriz
+será 4x4 e terá o seguinte aspeto:
+
+$$
+\bgroup
+    T =
+    \begin{bmatrix}
+        \vec \imath & \vec \jmath & \vec k & \vec t \\
+        0 & 0 & 0 & 1
+    \end{bmatrix}
+\egroup
+$$
+
+Para calcular o centro da esfera após a transformação da entidade, basta multiplicar a matriz de
+transformação pela posição do centro da esfera:
+
+$$
+C' = T C
+$$
+
+Depois, para calcular o novo raio da esfera, não é necessário ter em conta as transformações de
+rotação, visto que as esferas são simétricas em todos os eixos possíveis. No entanto, é necessário
+ter em conta a escala aplicada ao modelo. Por exemplo, na matriz $T$, a escala da entidade pelo
+eixo $x$ é $\lVert \vec \imath \rVert$, e o mesmo se tem para o eixo $y$ e
+$\lVert \vec \jmath \rVert$, e para $z$ e $\lVert \vec k \rVert$. Logo, o raio da esfera
+transformada é:
+
+$$
+r' =
+    \max
+        \left ( \lVert \vec \imath \rVert, \lVert \vec \jmath \rVert, \lVert \vec k \rVert \right )
+    \cdot
+        r
+$$
+
+É possível tirar proveito da estrutura hierárquica da cena para otimizar o processo de
+\emph{frustum culling}. Por exemplo, caso um grupo contenha várias entidades ou subgrupos, pode
+construir-se uma esfera que encapsula a totalidade do grupo. Caso essa esfera não esteja no
+\emph{view frustum}, pode-se evitar fazer os testes de visibilidade para as esferas dos objetos
+individuais que compõem o grupo. Caso contrário, é na mesma necessário realizar esses testes.
+
+O processo para determinar as características de uma esfera que encapsula todos os objetos de um
+grupo é semelhante ao da construção de esferas com base no conjunto de pontos de um modelo. Em
+primeiro lugar, para determinar o centro da esfera, calcula-se o centro de massa do conjunto de
+pontos formado pelos centros de todas as esferas, $C$. De seguida, para cada subesfera, calcula-se
+a sua distância máxima a $C$, o raio da subesfera adicionado à distância entre $C$ e o centro da
+subesfera. Depois, a maior destas distâncias é escolhida para ser o raio da nova esfera, como mostra
+a expressão abaixo, onde $S$ representa o conjunto de subesferas:
+
+$$
+r' = \max \left \lbrace d(C', C) + r \mid (C, r) \in S \right \rbrace
+$$
+
+Depois de saber como determinar as esferas encapsuladoras das entidades, é necessário determinar
+o \emph{view fustum} da câmara, para se poder verificar a posição das esferas em relação aos planos
+do \emph{view fustum}. Para determinar o \emph{view frustum}, é necessário obter alguns vetores
+importantes da câmara \cite{lighthouse3d-frustum-planes}:
+
+\textbf{\color{red} TODO - com a fusão das partes do relatório, referenciar vetores da câmara livre}
+
+Além destes vetores, é também necessário conhecer as dimensões dos planos \emph{near} e \emph{far}.
+Apesar de, matematicamente, planos não terem uma altura e uma largura, utiliza-se esta linguagem
+para se referir às dimensões dos retângulos nestes planos que constituem o \emph{view frustum}. Na
+expressão abaixo, mostra-se como se pode calcular a altura ($H_\text{near}$) e a largura
+($W_\text{near}$) do plano \emph{near}. O processo para o plano \emph{far} é semelhante. Com o FOV
+da câmara ($\theta$), a distância ao plano \emph{near} ($d_\text{near}$) e o \emph{aspect ratio}
+(A), podem calcular-se as dimensões deste plano \cite{lighthouse3d-frustum-distances}:
+
+$$
+H_\text{near} = 2 d_\text{near} \tan \left ( \frac{\theta}{2} \right )
+\hspace{1cm}
+W_\text{near} = H_\text{near} A
+$$
+
+Com estes valores, é possível determinar as coordenadas dos pontos dos retângulos do
+\emph{view frustum}. Os quatro pontos do plano \emph{near} (a amarelo na figura abaixo) podem ser
+calculados do seguinte modo, e o método utilizado para o plano \emph{far} é semelhante
+\cite{lighthouse3d-frustum-planes}:
+
+$$
+F = P +
+    d_\text{near} \; \widehat{d} \; \pm
+    \frac{H_\text{near}}{2} \; \widehat{up} \; \pm
+    \frac{W_\text{near}}{2} \; \widehat{r} \;
+$$
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{res/phase2/ViewFrustum.pdf}
+    \caption{\emph{View Frustum}.}
+\end{figure}
+
+Com os oito pontos do \emph{view frustum}, é possível determinar as equações cartesianas de cada
+um dos seus planos, considerando três pontos da sua superfície. Em primeiro lugar, determina-se o
+vetor normal ao plano. Com os três pontos, $P_1$, $P_2$ e $P_3$, determinam-se dois vetores, a
+partir dos quais se calcula um produto externo, determinando-se assim um vetor perpendicular ao
+plano \cite{lighthouse3d-plane}:
+
+$$
+n = \overrightarrow{P_1 P_2} \times \overrightarrow{P_1 P_3}
+$$
+
+Depois, com este vetor normalizado, é possível determinar a constante na equação cartesiana do plano
+com base nas coordenadas de um dos três pontos dados \cite{lighthouse3d-plane}:
+
+\begin{align*}
+                       & \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0 \\
+    \Leftrightarrow \; & \widehat{n} \cdot P + \delta = 0 \\
+    \Leftrightarrow \; & \delta = -\widehat{n} \cdot P
+\end{align*}
+
+Durante a renderização de cada \emph{frame}, verificam-se que esferas estão totalmente ou
+parcialmente dentro do \emph{view frustum}. Para uma esfera estar no \emph{view frustum} $F$, é
+necessário que a distância assinada entre o centro da esfera e cada um dos planos do
+\emph{view frustum} não seja inferior ao simétrico do seu raio, ou seja \cite{lighthouse3d-sphere}:
+
+$$
+\forall_{p \in F} \left ( \widehat{n} \cdot C + \delta \ge - r \right )
+$$
+
+Uma vez que é necessário calcular distâncias assinadas, é imperativo que os vetores normais de todos
+os planos do \emph{view frustum} apontem para o seu interior, para que o conteúdo no seu interior (e
+não no seu exterior) seja desenhado. \cite{lighthouse3d-frustum-planes} Por este motivo, a ordem em
+que os pontos $P_1$, $P_2$ e $P_3$ são especificados é relevante.
 
 \section{Resultados obtidos}
 
@@ -100,8 +258,22 @@ \section{Bibliografia}
 \renewcommand{\section}[2]{}
 
 \begin{thebibliography}{9}
-    \bibitem{exemplo}
-        \href{https://youtu.be/dQw4w9WgXcQ}{Um item de exemplo na bibliografia}
+    \bibitem{lighthouse3d-frustum-planes}
+        ``Geometric Approach -- Extracting the Planes.''. Lighthouse3d.com. Accessed:
+        Mar. 29, 2025. [Online.] Available:
+        \url{https://www.lighthouse3d.com/tutorials/view-frustum-culling/geometric-approach-extracting-the-planes/}
+    \bibitem{lighthouse3d-frustum-distances}
+        ``View Frustum’s Shape.''. Lighthouse3d.com. Accessed:
+        Mar. 29, 2025. [Online.] Available:
+        \url{https://www.lighthouse3d.com/tutorials/view-frustum-culling/view-frustums-shape/}
+    \bibitem{lighthouse3d-plane}
+        ``Plane.''. Lighthouse3d.com. Accessed:
+        Mar. 29, 2025. [Online.] Available:
+        \url{https://www.lighthouse3d.com/tutorials/maths/plane/}
+    \bibitem{lighthouse3d-sphere}
+        ``Geometric Approach -- Testing Points and Spheres.''. Lighthouse3d.com. Accessed:
+        Mar. 29, 2025. [Online.] Available:
+        \url{https://www.lighthouse3d.com/tutorials/view-frustum-culling/geometric-approach-testing-points-and-spheres/}
 \end{thebibliography}
 \endgroup
 

scripts/formatlatex.sh

@@ -24,7 +24,9 @@ grep_error_message() {
 
 # shellcheck disable=SC2266
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-    grep -PHn '.{101,}$' "$file" | grep_error_message "Column exceeds 100 characters"
+    grep -PHn '.{101,}$' "$file" | \
+        grep -Pv 'http' | \
+        grep_error_message "Column exceeds 100 characters"
     grep -PHn '\t$'      "$file" | grep_error_message "Use of tabs"
     grep -PHn '\s+$'     "$file" | grep_error_message "Trailing whitespace"
 done |