Z2上的线性代数

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@@ -168,7 +168,8 @@ \section{浮点数}
 于是，符号位$S=1$，尾数$M$为$1110\,0000\,0000\,0000\,0000\,000$，阶码$E$为$128_{10}=1000\,0000_2$，则最终的32位单精度浮点数为
 $$1\,1000\,0000\,1110\,0000\,0000\,0000\,0000\,000$$
 
-\section{BCD码}
+\section{BCD码与二进制码的转换}
+\subsection{BCD码简介}
 \begin{note}{}{}
 本节系摘编。
 
@@ -199,7 +200,7 @@ \section{BCD码}
 \caption{常见的BCD编码。通常开发使用8421，8421对于新手能一看就懂。}\label{tab3}
 \end{table}
 
-\section{BCD码转二进制}\label{sec30}
+\subsection{BCD码转二进制}\label{sec30}
 BCD码是我们用来表示十进制数的方式，BCD转二进制的算法也就是十进制转二进制的算法。这里我们介绍短除法，该算法是高中课程的内容。
 
 短除法将一个数反复除以2直到商为0，取余数倒序为二进制结果。
@@ -301,7 +302,7 @@ \section{BCD码转二进制}\label{sec30}
 \end{center}
 \end{example}
 
-\section{二进制转BCD码}\label{sec31}
+\subsection{二进制转BCD码}\label{sec31}
 回顾\autoref{exa1}中的算法。每一步中，进行分离最后一位、分组、查表三个操作，最终从第一行的BCD码推到了最后一行的二进制。每一步都是由\autoref{tab5}唯一确定的，所以可以作为一个可靠的算法。反过来想，如果先知道了最后一行的二进制，是否可以反推到第一行的BCD码呢？我们来试试。
 \begin{example}{}{}
 将二进制1111011转为BCD码。尝试将\autoref{exa2}中的步骤反向。
@@ -330,3 +331,150 @@ \section{二进制转BCD码}\label{sec31}
 \end{tabular}
 \end{center}
 \end{example}
+
+\section{$\mathbb{Z}_2$上的线性代数}
+\subsection{域$\mathbb{Z}_2$简介}
+把整数分成奇数和偶数，则有如下运算规律：
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|cc|}
+\hline
+$+$&偶&奇\\\hline
+偶&偶&奇\\
+奇&奇&偶\\\hline
+\end{tabular}
+\begin{tabular}{|c|cc|}
+\hline
+$\times$&偶&奇\\\hline
+偶&偶&偶\\
+奇&偶&奇\\\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+$\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$表示整数除2所得余数的集合，则0代表偶数，1代表奇数，0和1之间的加法和乘法运算遵守上述奇偶的运算规律，即
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|cc|}
+\hline
+$+$&0&1\\\hline
+0&0&1\\
+1&1&0\\\hline
+\end{tabular}
+\begin{tabular}{|c|cc|}
+\hline
+$\times$&0&1\\\hline
+0&0&0\\
+1&0&1\\\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+另外，定义除法为乘法的逆运算，即$0\div 1=0$、$1\div 1=1$，除数不能为0。定义减法为加法的逆运算，由于$\mathbb{Z}_2$的特殊性，减法和加法的运算规则完全一样。
+
+如果将0和1又看作逻辑中的真和假，则加法对应的是异或，乘法对应的是与，所以可以用$\mathbb{Z}_2$上的运算来描述逻辑。
+
+\subsection{向量与矩阵}
+$\mathbb{Z}_2$上的向量即为一组有序的$\mathbb{Z}_2$元素。向量组成向量空间。
+\begin{definition}
+$\mathbb{Z}_2^n=\{(x_1,\dots,x_n): x_k\in\mathbb{Z}_2\}$是$\mathbb{Z}_2$上的$n$维向量空间。$\mathbb{Z}_2^n$中的元素是$\mathbb{Z}_2$上的$n$维向量。
+\end{definition}
+
+向量的加减法定义为对应元素加减：
+\[
+	(x_1,\dots,x_n) + (y_1,\dots,y_n) = (x_1+y_1,\dots,x_n+y_n).
+\]
+
+数字乘向量定义为用数字乘向量中的每个元素：
+\[
+	\lambda(x_1,\dots,x_n) = (\lambda x_1,\dots,\lambda x_n).
+\]
+由于$\mathbb{Z}_2$中仅有0和1两个数字，所以向量的数乘可以列举为
+\[
+	1\mathbf{x}=\mathbf{x},\qquad 0\mathbf{x}=\mathbf{0},
+\]
+其中粗体小写字母表示向量，$\mathbf{0}$表示零向量，即向量中所有元素都是0。
+
+$\mathbb{Z}_2$元素也可以有序地组成矩阵。矩阵组成矩阵空间。
+\begin{definition}
+$\mathbb{Z}_2^{m\times n}=\left\{\begin{pmatrix}
+	x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
+	x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\
+	\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+	x_{m1}&x_{m2}&\cdots&x_{mn}
+\end{pmatrix}: x_{jk}\in\mathbb{Z}_2\right\}$是$\mathbb{Z}_2$上的$m\times n$维矩阵空间。$\mathbb{Z}_2^{m\times n}$中的元素是$\mathbb{Z}_2$上的$m\times n$维矩阵。
+\end{definition}
+
+矩阵也可以看作向量的向量。一个$m\times n$维矩阵既可以理解为由$m$个$n$维行向量组成的列向量也可以理解为由$n$个$m$维列向量组成的行向量。$n$维行向量也可以看作$1\times n$维矩阵，$m$维列向量也可以看作$m\times 1$维矩阵。
+
+按照向量加减法与数乘的定义，矩阵加减法也定义成对应元素加减，矩阵数乘也定义成用数字乘矩阵中的每个元素。
+
+矩阵一般用粗体大写字母表示。零矩阵用$\mathbf{O}$表示。
+
+\subsection{线性组合}
+将若干向量用数乘然后相加，得到的结果可以叫做这些向量的\emph{线性组合}。
+\begin{definition}
+设$\mathbf{x_1},\dots,\mathbf{x_n}\in\mathbb{Z}_2^m$，$\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb{Z}_2$，则$\lambda_1\mathbf{x_1}+\dots+\lambda_n\mathbf{x_n}\in\mathbb{Z}_2^m$是向量$\mathbf{x_1},\dots,\mathbf{x_n}$的一个线性组合。
+\end{definition}
+将$\mathbf{x_1},\dots,\mathbf{x_n}$排列成矩阵，$\lambda_1,\dots,\lambda_n$排列成向量，则该线性组合可以描述为
+\[
+	(\mathbf{x_1},\cdots,\mathbf{x_n})\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}=\lambda_1\mathbf{x_1}+\dots+\lambda_n\mathbf{x_n}\in\mathbb{Z}_2^m.
+\]
+其中$\mathbf{x_1},\dots,\mathbf{x_n}$是矩阵中的列向量，$\lambda_1,\dots,\lambda_n$也排列成列向量。以上就是矩阵和列向量相乘的定义。
+\begin{definition}
+设$\mathbf{A}\in\mathbb{Z}_2^{m\times n}$，$\mathbf{x}\in\mathbb{Z}_2^n$，则$\mathbf{A}\mathbf{x}\in\mathbb{Z}_2^m$定义为
+\[
+	\mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
+		a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+		a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+		\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+		a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x_{1}\\
+		x_{2}\\
+		\vdots\\
+		x_{n}
+	\end{pmatrix}
+	=
+	\begin{pmatrix}
+		a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\
+		a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\\
+		\vdots\\
+		a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}
+	\end{pmatrix}
+\]
+\end{definition}
+
+\subsection{解线性方程组}
+利用矩阵和列向量的乘法可以描述\emph{线性方程组}。例如方程组
+\[
+	\begin{cases}
+		a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_1\\
+		a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_2\\
+		\vdots\\
+		a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_m
+	\end{cases}
+\]
+可以描述为
+\[
+	\underbrace{\begin{pmatrix}
+		a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
+		a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
+		\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
+		a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
+	\end{pmatrix}}_\mathbf{A}
+	\underbrace{\begin{pmatrix}
+		x_{1}\\
+		x_{2}\\
+		\vdots\\
+		x_{n}
+	\end{pmatrix}}_\mathbf{x}
+	=
+	\underbrace{\begin{pmatrix}
+		b_{1}\\
+		b_{2}\\
+		\vdots\\
+		b_{m}
+	\end{pmatrix}}_\mathbf{b}.
+\]
+
+解线性方程组可以用高斯消元法。
+
+\subsection{线性变换与矩阵代数}