typos in Aufgabensammlung

aufgaben/3/30000004.tex

@@ -50,7 +50,7 @@
 mit einem Separationsansatz l"osen. Dazu schreibt man $u(x,y)=X(x)Y(y)$
 und setzt in die Differentialgleichung ein:
 \begin{align*}
-X'(x)Y(y)+yX(x)Y(y)&=0\\
+X'(x)Y(y)+yX(x)Y'(y)&=0\\
 \Rightarrow\qquad \frac{X'(x)}{X(x)}&=-y\frac{Y'(y)}{Y(y)}
 \end{align*}
 Da die eine Seite nur von $x$, die andere nur von $y$ abh"angt, m"ussen

aufgaben/3/30000011.tex

@@ -31,7 +31,7 @@
 \dot x&=1
 \label{30000011:x}
 \\
-\dot y&=\frac1{\sin x}
+\dot y&=\frac1{\sin y}
 \label{30000011:y}
 \\
 \dot u&=0

aufgaben/3/30000012.tex

@@ -139,7 +139,7 @@
 \]
 Beide Seiten m"ussen daher konstant sein, wir nennen die Konstante $k$.
 Wir m"ussen jetzt zwei gew"ohnliche Differentialgleichungen mit dem Paramter
-$k$ l"osen, die aber sofort durch Integration gel"ost werden k"Onnen:
+$k$ l"osen, die aber sofort durch Integration gel"ost werden k"onnen:
 \begin{align*}
 X'(x)&=\frac{k}{x}&&\Rightarrow&X(x)&=k\log x + C_x      \\
 Y'(y)&=-ky        &&\Rightarrow&Y(y)&=-\frac{k}2y^2 + C_y

aufgaben/4/40000010.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 auf dem Gebiet $\Omega=\{(x,t)\,|\, 0<x<\pi,t>0\}$ 
 mit den Randbedingungen
 \begin{align*}
-u(0,t)=u(\pi,0)&=0&&\text{f"ur $t > 0$}\\
+u(0,t)=u(\pi,t)&=0&&\text{f"ur $t > 0$}\\
 u(x,0)&=\sin x&&\text{f"ur $0<x<\pi$}.
 \end{align*}
 

aufgaben/5/50000008.tex

@@ -46,7 +46,7 @@
 \[
 x\frac{\partial{\cal L}u(x,s)}{\partial x}
 -
-u(x,0)+{\cal L}u(x,s)=0.
+u(x,0)+s{\cal L}u(x,s)=0.
 \]
 Dank der Randbedingung $u(x,0)=0$ wird die Differentialgleichung
 homogen:
@@ -86,7 +86,7 @@
 \end{align*}
 Die Anfangsbedingung f"ur $x=1$ liefert
 \begin{equation}
-y_s(1)=C=\frac{s}{s^2+a^2}
+y_s(1)=C=\frac1s-\frac{s}{s^2+a^2}
 \qquad\Rightarrow\qquad
 y_s(x)
 =

aufgaben/5/50000011.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 im Gebiet $\Omega=\{(x,t)\,|\, x > 1 \text{ und } t > 0\}$ eine
 L"osung der Differentialgleichung
 \begin{equation}
-x^2\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial t}=0
+x^2\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}=0
 \label{50000011:dgl}
 \end{equation}
 mit den Randbedingungen
@@ -23,13 +23,13 @@
 \begin{loesung}
 Die Laplace-Transformierte der Differentialgleichung~(\ref{50000011:dgl}) ist
 \begin{equation}
-x^2\frac{\partial}{\partial x}{\cal L}u(x,s) + {\cal L}u(x,s) - u(x,0)=0.
+x^2\frac{\partial}{\partial x}{\cal L}u(x,s) + s{\cal L}u(x,s) - u(x,0)=0.
 \end{equation}
 Der letzte Term f"allt wegen der zweiten Randbedingung weg.
 Wir schreiben $y_s(x)={\cal L}u(x,s)$, und suchen jetzt also eine L"osung
 der gew"ohnlichen Differentialgleichung
 \begin{equation}
-x^2y_s(x) + sy_s(x)=0.
+x^2y'_s(x) + sy_s(x)=0.
 \label{50000011:odgl}
 \end{equation}
 Die Anfangsbedingung von $y_s(x)$ f"ur $x=1$ entsteht durch

aufgaben/6/60000001.tex

@@ -57,7 +57,7 @@
 \]
 hat das charakteristische Polynom
 \[
-(1-\lambda)^2-\frac14=\lambda^2-2\lambda-\frac34
+(1-\lambda)^2-\frac14=\lambda^2-2\lambda+\frac34
 \]
 mit den Nullstellen $\lambda_1=\frac32$ und $\lambda_2=\frac12$,
 diese Gleichung ist also elliptisch.

aufgaben/8/80000001.tex

@@ -77,14 +77,14 @@
 X(x)=
 A(\mu)e^{\lambda_+(\mu)x}
 +
-B(\mu)e^{\lambda_+(\mu)x}
+B(\mu)e^{\lambda_-(\mu)x}
 \]
 Sie soll f"ur $x=0$ verschwinden, also
 \[
 X(0)=
 A(\mu)e^{\lambda_+(\mu)\cdot 0}
 +
-B(\mu)e^{\lambda_+(\mu)\cdot 0}
+B(\mu)e^{\lambda_-(\mu)\cdot 0}
 =A(\mu)+B(\mu)=0
 \]
 oder $B(\mu)=-A(\mu)$. Damit haben wir

aufgaben/9/90000002.tex

@@ -74,7 +74,7 @@
 \frac{(1-x^2)(1\pm\sqrt{5})}{-2(1+x)^2}
 \\
 &=
-\-\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
+\-\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1\pm\sqrt{5}}{-2}
 \end{align*}
 \item
 Die beiden Charakteristiken sind die L"osungen der Differentialgleichung