[20260311] BOJ / D3 / LIS on Tree / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/33752

🧭 풀이 시간

300분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

정점 $N$개인 트리가 주어진다. 각 정점에는 가중치 $v_i$가 달려있다.
임의의 정점 $u$와 $v$를 잇는 경로에서 만나는 정점 번호를 차례대로 기록한 수열 $P$에 대해,
$P$에서 $0$개 이상의 원소를 제거하여 얻은 부분 수열 $S$를 트리 부분 수열이라고 정의한다.

트리 부분 수열 $S = { s_1, s_2, \cdots, s_k }$에 대해,
$v_{s_1} < v_{s_2} < \cdots < v_{s_k}$를 만족하는 $S$를 증가하는 트리 부분 수열이라고 정의한다.

주어진 트리에서 증가하는 트리 부분 수열의 최대 길이를 구해보자.

🔍 풀이 방법

트리의 지름을 구할 때와 비슷하게 생각해봤다.
어떤 점의 아래로 겹치지 않는 두 경로를 합친 것이 트리의 지름의 후보가 될 수 있는 것처럼,
어떤 점의 아래로 겹치지 않는 두 LIS, LDS를 합친 것이 증가하는 트리 부분 수열의 후보가 될 수 있다.

asc[i] = 리프에서부터 i번 정점까지 도달하였을 때, i번 정점을 반드시 포함하는 LIS의 최대 길이
asc2[i] = 리프에서부터 i번 정점까지 도달하였을 때, i번 정점을 반드시 포함하는 LIS의 두 번째 최대 길이
dec[i] = 리프에서부터 i번 정점까지 도달하였을 때, i번 정점을 반드시 포함하는 LDS의 최대 길이
dec2[i] = 리프에서부터 i번 정점까지 도달하였을 때, i번 정점을 반드시 포함하는 LDS의 두 번째 최대 길이

이렇게 정의하면, 각 i마다 asc[i] + dec[i] - 1가 답의 후보가 된다.
만약, asc[i]와 dec[i]의 경로가 겹치는 경우는 asc2[i] + dec[i] - 1, asc[i] + dec2[i] - 1 중 최댓값을 택하면 된다.

다음으로는, 저 asc, asc2, dec, dec2를 효율적으로 구하는 방법을 생각해봤다.
i번 정점으로 도달하는 LIS를 구하려면, $v_i$보다 작은 가중치를 가지는 정점은 이미 다 처리된 상태여야 한다.
i번 정점을 루트로 하는 서브트리 내에서 asc 값이 가장 큰 정점을 하나 선택하고 거기에 +1을 해주면 되겠다고 생각했다.
-> 트리에서 업데이트 쿼리가 가능해야 하고 서브트리에 대한 max연산도 지원해야 하니까, 오일러 경로 테크닉 + 세그먼트 트리로 구현할 수 있다.

트리의 지름을 구할 때는 경로 상의 모든 점이 지름에 기여하지만, LIS는 그렇지 않을 수도 있다.
중간에 빠져도 되는 점들이 있을 수 있기 때문에, asc[i]와 dec[i]가 i번 정점에서 사용될 수도 있고 i번 정점의 조상에서도 사용될 수 있어야 한다.

따라서 DFS + smaller to larger로 리프에서부터 올라가면서 asc, dec를 잘 합쳐주며 정답을 갱신해 나갔다.

⏳ 회고

구현도 너무 복잡했고 아이디어를 떠올리는 것도 힘들었다.
손으로 반례를 못 찾겠어서 naive 정답 코드와 내 코드의 결과가 다르게 나올 때까지 무한루프로 테케를 생성해서 겨우 찾아냈다.