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\chapter{Lebesgue-Integral}
  \begin{definition}
    $X$ Menge, $\mu$ äußeres Maß. Eine funktion $\zeta: X \to \mathbb{R}$ heißt $\bm{\mu}$\textbf{-Treppenfunktion}, wenn sie $\mu$-messbar ist und nur eindlich viele Funktionswerte annimmt.\\
    Die Menge $\script{T}(\mu)$ der $\mu$-Treppenfunktionen ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum. Wir setzen
    \begin{align*}
      \script{T}^+(\mu)=\{\zeta \in \script{T}(\mu) \ | \ \zeta \geq 0\}
    \end{align*}
  \end{definition}

  \begin{example}
    $E \subseteq X, \psi_E: X \to \mathbb{R}, \psi_E(x) = \begin{cases}
      1 & ,x \in E\\
      0 & ,\text{ sonst}
    \end{cases}$  Es ist: $\psi_E$ $\mu$-Treppenfunktion $\Leftrightarrow E \in \script{M}(\mu)$\\
    Sei $\zeta \geq 0, \zeta = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{A_i}$ mit $A_i$ messbar und $s_i \geq 0$ und die $A_i$ sind paarweise disjunkt. So eine Darstellung heißt \textbf{einfach}.\\
    Wir setzen:
    \begin{align*}
      (\star) \ I(\zeta) := \sum\limits_{i=1}^k s_i \mu(A_i)
    \end{align*} 
    Für $\zeta=0$ folgt $I(\zeta) = 0 \cdot \mu(X) = 0$\\
    Jedes $\zeta \in \script{T}^+(\mu)$ besitzt eine einfache Darstellung, z.B. können wir für $s_i$ die endlich vielen Funktionswerte wählen und $A_i = \{\zeta = s_i\}$
  \end{example}

  \begin{lemma}
    Das Integral $I: \script{T}^+(\mu) \to [0,\infty]$ ist durch $(\star)$ wohldefiniert. Für $\zeta, \phi \in \script{T}^+(\mu)$ und $\alpha, \beta \in [0, \infty)$ gilt:
    \begin{enumerate}[label=\roman*)]
      \item $I(\alpha \zeta + \beta \psi) = \alpha I(\zeta) + \beta I(\psi)$
      \item $\zeta \leq \psi \implies I(\zeta) \leq I(\psi)$ 
    \end{enumerate}
  \end{lemma}

  \begin{proof}
    Sei $\zeta = \sum\limits_{i=1}^{k} s_i \psi_{A_i}$ einfach $\implies \{\zeta > 0\} = \bigcup\limits_{i;s_i >0} A_i$.\newline
    Ist $\mu (\{ \zeta >0\}) = \infty$ $\implies s_i \mu (A_i) = \infty$ für mindestens ein $i$ und damit $I(\zeta )= \infty$. \newline
    Sei nun $\mu(\{\zeta\}) < \infty$ und $\zeta = \sum\limits_{j=1}^l t_j \psi_{B_j}$ eine zweite einfache Darstellung. \newline
    z.z. $\sum\limits_{i=1}^k s_i \mu (A_i) = \sum\limits_{j=1}^l t_j \mu (B_j)$ \newline
    $\implies I$ wohldefiniert $\implies A_i\cap B_j$ sind messbar und paarweise disjunkt und es gilt \newline
    $0 = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{A_i} - \sum\limits_{j=1}^l t_j \psi_{B_j} = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^l (s_i - t_j )\psi_{A_i \cap B_j}$. \newline
    Für $A_i \cap B_j \neq \varnothing \implies s_i = t_j$ \newline $ \implies \sum\limits_{i=1}^{k} s_i \mu (A_i) - \sum\limits_{j=1}^l t_j \mu (B_j) = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^l (s_i - t_j)\mu (A_i\cap B_j)=0$ \newline
    Sei nun $\zeta = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{A_i}$, $\Psi = \sum\limits_{j=1}^l t_j \psi_{B_j}$ einfache Darstellungen von $\zeta$,$\psi\in \script{T}^+(\mu) \\ \implies \alpha \zeta + \beta \Psi = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^l (\alpha s_i + \beta t_j)\psi_{A_i\cap B_j}$. Das ist einfach. \newline
    $\implies I(\alpha \zeta + \beta \Psi) = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^l (\alpha s_i + \beta t_j) \mu (A_i \cap B_j) = \alpha I(\zeta) + \beta I(\Psi) \implies$ i) \newline
    In ii) gilt $\Psi - \zeta \in \script{T}^+(\mu)$ und damit $I(\Psi) = I(\zeta + (\Psi - \zeta)) \overset{i)}{=} I(\zeta) + I(\Psi - \zeta) \geq I(\zeta)$
    
  \end{proof}

  \begin{remark}
    Für $A_i$ messbar und $s_i \geq 0$ folgt aus i) auch für $A_i$ nicht disjunk:
    \begin{align*}
      I(\zeta) = \sum\limits_{i=1}^k s_i \mu(A_i) \ \ \text{ für } \zeta = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{A_i}
    \end{align*}
  \end{remark}

  \begin{definition}[Lebesgue-Integral]
    Für $f: X \to [0,\infty]$ $\mu$-messbar, setze
    \begin{align*}
      \int f d\mu = sup\{I(\zeta) \ | \ \zeta \in \script{T}^+(\mu), \zeta \leq f\}
    \end{align*}
    $\zeta$ heißt \textbf{Unterfunktion} von f.\\
    Ist $f: X \to [-\infty, \infty]$ $\mu$-messbar und sind die Integrale von $f^{\pm}$ nicht beide unendlich, so setzen wir
    \begin{align*}
      \int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu \ \ \in [-\infty, \infty] 
    \end{align*}
  \end{definition}

  \begin{remark}
    Für $f \geq 0$ sind beide Schritte kompatibel, denn dann gilt $f = f^+$ und $f^- = 0$
  \end{remark}

  \begin{lemma}
    Für $f \in \script{T}^+(\mu)$ gilt: $\int f d\mu = I(f)$
  \end{lemma}

  \begin{proof}
    $f$ ist Unterfunktion von $f$ $\implies \int f d\mu \geq I(f)$. \newline
    Lemma IV.2 ii) $\implies I(\zeta) \leq I(f)$ $\forall \zeta$ Unterfunktion von f $\implies \int f d\mu \leq I(f)$.
  \end{proof}

  \begin{example}
    $\chi_{\mathbb{Q}}$ ist eine $\lambda^1$-Treppenfunktion und es gilt:\\
    $\int \chi_{\mathbb{Q}} d\lambda^1 = I(\chi_{\mathbb{Q}}) = 0 \cdot \lambda^1(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda^1(\mathbb{Q}) = 0 + 1 \cdot 0 = 0$
  \end{example}

  \begin{definition}
    $f:X \to \bar{\mathbb{R}}$ heißt \textbf{integrierbar} bzgl. $\mu$, wenn sie $\mu$-messbar ist und wenn gilt:
    \begin{align*}
      \int f d\mu \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \int f^+ d\mu + \int f^- d\mu < \infty
    \end{align*}
  \end{definition}

  \begin{example}
    $\mu = card, X = \mathbb{N}_0$\\
    z.z.: $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ ist bzgl. $card$ auf $\mathbb{N}_0$ integrierbar $\implies \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} f(k)$ absolut konvergent\\
    Dann gilt: $\int f d card = \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} f(k)$\\
    
    i) $f: \mathbb{N}_0 \to [0,\infty]$ \\
    Betrachte $f_n: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$, $f_n(k) = \begin{cases} f(k) \text{ ,}k\leq n \\ 0\text{ sonst } \end{cases}$ \\
    $f_n$ sind Unterfunktionen von $f$ mit $I(f_n)=\sum\limits_{k=0}^nf(k) \\ \implies \int f dcard \geq \lim\limits_{n\to\infty} I(f_n) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} f(k)$\\
    Umgekehrte Abschätzung: \\
    Dazu sei O.E. $\sum\limits_{k=0}^\infty f(k) <\infty \implies f(k)\to 0$ mit $k\to\infty$ \\
    $\zeta$ Unterfunktion von $f$, so ist $\zeta (k) \neq 0$ nur für endlich viele $k$ und damit $\zeta \leq f_n$ für $n$ hinreichend groß. \\
    $\implies I(\zeta)\leq I(f_n) = \sum\limits_{k=0}^n f(k)\leq \sum\limits_{k=0}^\infty f(k)$ \\
    $\implies \int f dcard \leq \sum\limits_{k=0}^\infty f(k)$ \\
    
    Äquivalend von Integrierbarkeit und absolute Konvergenz: \\
    $\inf f^+ dcard + \inf f^- dcard = \sum\limits_{k=0}^\infty f^+(k)+\sum\limits_{k=0}^\infty f^-(k) = \sum\limits_{k=0}^\infty |f(k)|$ \\
    Und weiter \\
    
    ii) $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{\bar{R}}$ \\
    $\int f dcard = \inf f^+ dcard - \int f^- dcard = \sum\limits_{k=0}^\infty f^+(k) - \sum\limits_{k=0}^\infty f^-(k) = \sum\limits_{k=0}^\infty f(k)$
  \end{example}
  \newpage
  \begin{theorem}
    $f,g:X \to \bar{\mathbb{R}}$ $\mu$-messbar. Ist $f \leq g$ $\mu$-fast überall und $\int f^- d\mu < \infty$, so existieren beide Integrale und es ist: $\int f d\mu \leq \int g d\mu$\\
    \glqq$\geq$\grqq gilt entsprechend wenn $f^+ d\mu < \infty$
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    \item[i)] $f,g \geq 0$. Ist $\zeta = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{A_i}$ Unterfunktion von $f$ $\implies \Psi := \psi_{\{f \leq g \}}\zeta = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi_{\{f\leq g\}\cap A_i}$ Unterfunktion von g \\
    $\implies I(\zeta) = \sum\limits_{i=1}^k s_i \mu (A_i) = \sum\limits_{i=1}^k s_i \psi(\{f \leq g\}\cap A_i) = I(\Psi) \leq \int g d\mu$ \\
    $\implies\int f d\mu \leq \int g d\mu$ 
    \item[ii)] $f,g$ beliebig. \\
    Es gilt: $f^+ > 0 \implies f= f^+$ \\
    $f^+ > g^+ \implies f = f^+ > g^+ \geq g \\
    f^- < g^- \implies f \geq f^- > -g^- = g$ \\
    Aus $f \leq g$ folgt $f^+ \leq g^+$ und $f^- \geq g^-$ fast überall. \\
    $\implies \int f^+ d\mu \leq \int g^+ d\mu$, $\infty > \int f^- d\mu \geq \int g^- d\mu \\ 
    \implies \int f d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu \leq \int g^+ d\mu - \int g^- d\mu = \int g d\mu$
    
  \end{proof}

  \begin{remark}
    $f,g: X \to \bar{\mathbb{R}}$, $f$ $\mu$-messbar und $g = f$ $\mu$-fast überall $\stackrel{\text{Kapitel II}}{\implies} g$ $\mu$-messbar\\
    Satz IV.6 $\implies \int g^{\pm} d\mu = \int f^{\pm} d\mu \implies \int f d\mu = \int g \ d\mu$
  \end{remark}

  \sidenote{Vorlesung 12}{11.11.2020}

  \begin{remark}
    Einschub: zum Beweis von Satz III.7 \\
    $D$ $\lambda^n$-messbar \\ 
    Schreibe $D = \bigcup\limits_{j=1}^\infty D_j$ mit $D_j = \{x\in D: j-1 \leq ||x|| < j\}$ \\
    Lemma III.6 $\implies \exists U_{i,j}$ offen bzw. $K_{i,j}$ kompakt mit $K_{i,j}  \subset D_j \subset U_{i,j}$ und \\ $\lambda^n (U_{i,j}) < \lambda^n (D_j) + \frac{2^{-j}}{i}$, $\lambda^n (K_{i,j}) > \lambda^n (D_j) - \frac{2^{-j}}{i}$ \\
    $\implies U_i := \bigcup\limits_{j=1}^\infty U_{i,j}$ offen und $A_i := \bigcup\limits_{j=1}^\infty K_{i,j}$ abgeschlossen.
  \end{remark}
  \begin{example}
  	$K_n = \{\frac{1}{n}\}$, $\bigcup\limits_{n=1}^\infty \{ \frac{1}{n}\}$ nicht abgeschlossen. \\
  	\item[Beweis] Sei $x\in \bar{A}_i \implies \exists K\subset \mathbb{R}^n$ kompakt mit $x\in $\r{K} (z.B. $K = \overline{B_{\frac{1}{2}}(x)}$). \\
  	$\implies \exists x_n \in A_i$ mit $x_n \to x$ O.E. $x_n \in A_i\cap K$ \\
  	$K$ schneidet höchstens endlich viele $K_{i,j}$ \\ 
  	endliche Vereinigung von diesen $K_{i,j}$ und $K$ ist abgeschlossen \\
  	$\implies x\in A_i \implies A_i = \overline{A_i} \implies A_i$ abgeschlossen.
  \end{example}

  \begin{lemma}[Tschebyscheff-Ungleichung]
    Für $f:X \to [0, \infty]$ $\mu$-messbar mit $\int f d\mu < \infty$ gilt:
    \begin{align*}
      \mu(\{f\geq s\}) \leq \begin{cases}
        \dfrac{1}{s} \cdot \int f d\mu & \text{ für } s \in (0, \infty)\\
        0 & \text{ für } s = \infty
      \end{cases}
    \end{align*}
  \end{lemma}

  \begin{proof}
    Für $s \in (0,\infty)$ ist $s \psi_{}\ f \geq s {\}}$ eine Unterfunktion von $f$ \\ $\implies s \mu (\{f = \infty\}) \leq s \mu (\{f\geq s \}) = I(s\psi_{\{f\geq s\}}) \leq \int f d\mu$
  \end{proof}

  \begin{lemma}
    Sei $f: X \to \bar{\mathbb{R}}$ $\mu$-messbar.
    \begin{enumerate}[label=\roman*)]
      \item ist $\int f d\mu < \infty \implies \{f = \infty\}$ ist $\mu$-Nulllmenge
      \item ist $f \geq 0$ und $\int f d\mu = 0 \implies \{f > 0\}$ ist $\mu$-Nullmenge
    \end{enumerate}
  \end{lemma}

  \begin{proof}
    \item[i)] Folgt mit $s=\infty$ aus Lemma IV.7 angewand auf $f^+$
    \item[ii)] Lemma IV.7 $\implies \mu(\{f\geq s\})=0$ für $s>0$ $\overset{\text{Lemma II.8}}{\implies} \mu(\{f >0\})=0$
  \end{proof}

  \begin{theorem}
    Zu $f: X \to [0,\infty]$ $\mu$-messbar gibt es eine Folge $f_k \in \script{T}^+(\mu)$ mit $f_0 \leq f_1 \leq ...$ und $\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x) = f(x) \ \forall x \in X$.
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Sei $c_k > 0$ eine Nullfolge mit $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k = \infty$ (z.B. $c_k = \frac{1}{k}$) \\
    Setze $f_0 := 0$ und definiere für $k\geq 1$ induktiv $E_k = \{f_{k-1}+c_k \leq f  \}$ sowie  \\ $f_k = f_{k-1}+c_k\psi_{E_k} \implies f_k = \sum\limits_{j=1}^k c_j\psi_{E_j}$ \\
    $\implies f_k$ sind Treppenfunktionen mit $f_0 \leq f_1 \leq ...$ und $f_k \leq f$ $\forall$ $k\in\mathbb{N}$. Denn ist $x\in E_k$, so gilt $f_k(x) = f_{k-1}(x)+c_k \leq f(x)$ nach Definition. \\
    Ist $x \notin E_k \implies f_k(x) = f_{k-1}(x) \leq f(x)$. \\
    Nach Induktion $\implies \lim\limits_{j\to\infty} f_k(x) \leq f(x)$ $\forall x\in X$. \\
    Sei $\lim\limits_{l\to\infty} < \infty $. Da $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k = \infty$ existiert $\infty$-viele $k\in\mathbb{N}$ mit $x\notin E_k$. \\
    $\implies f_{k-1}(x) > f(x)-c_k$  für $\infty$-viele $k$ $\implies \lim\limits_{k\to\infty}f_k(x) \geq f(x)$
  \end{proof}

  \newpage
  \begin{theorem}[Monotonie Konvergenz / Beppo-Levi]
    Seien $f_k:X \to [0,\infty]$ $\mu$-messbar mit $f_1 \leq f_2 \leq ...$ und $f: X \to [0, \infty]$ mit $f(x) := \lim\limits_{k \to \infty} f_k(x)$. Dann gilt:
    \begin{align*}
      \int f d\mu = \lim\limits_{k \to \infty} \int f_k \ d\mu
    \end{align*}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
	Seien $f$ ist $\mu$-messbar nach Satz I.16. Mit Satz IV.6 gilt: \\ 
	$0 \leq \int f_1 d\mu \leq \int f_2 d\mu \leq ... \leq \int f d\mu \implies \lim\limits_{k\to\infty} \int f_k d\mu \leq \int f d\mu$ \\
	Sei $\zeta$ Unterfunktion von $f$ mit Wertemenge $\{s_1, ..., s_m\}$. Setze $E_i = \{\zeta = s_i\}$ für $i=1,...,m$. \\ 
	Betrachte für $\Theta \in (0,1)$ die Mengen $E_{i,k} = E_i \cap \{f_k \geq \Theta s_i\} $ \\
	$\implies \sum\limits_{k=1}^m \Theta s_i \psi_{E_i,k}$ ist Unterfunktion von $f_k$ \\
	$\overset{\text{Lemma IV.2}}{\implies} \sum\limits_{i=1}^m \Theta s_i \mu (E_{i,k}) = I(\sum\limits_{i=1}^m \Theta_i s_i \psi_{E_{i,k}})\leq \int f_k d\mu$ \\
	Jetzt gilt: $E_i = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_{i,k}$, denn für $s_i > 0$ ist $\lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) = f(x)$ $\forall x\in E_i$. \\ 
	Außerdem: $E_{i,1} \subset E_{i,2} \subset ..." \overset{\text{Satz I.7}}{\implies} \mu (E_i) = \lim\limits_{k\to\infty}\mu (E_{i,k})\\ 
	\implies \Theta I(\zeta) = \sum\limits_{i=1}^m \Theta s_i \mu (E_i) = \lim\limits_{k\to\infty}^m \Theta s_i \mu (E_{i,k}) \leq \lim\limits_{k\to\infty} \int f_k d\mu$ \\
	Mit $\Theta \to 1$ und nach Bildung des Supremums über alle Unterfunktionen $\zeta$ gilt: \\ $\int f d\mu \leq \lim\limits_{k\to\infty} \int f_k d\mu$.
  \end{proof}

  \begin{theorem}
    $f,g: X \to \bar{\mathbb{R}}$ integrierbar bzgl. $\mu$, so ist auch $\alpha f + \beta g$ integrierbar $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ und es gilt:
    \begin{align*}
      \int (\alpha f + \beta g) \ d\mu = \alpha \int f d\mu + \beta \int g d\mu
    \end{align*}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    \item[I.] $f\geq 0$, $\alpha > 0$ $\implies \int (\alpha f) d\mu = \alpha \int f d\mu$. \\
    Sei dazu $\zeta$ Unterfunktion von $f$ $\implies \alpha \zeta$ ist Unterfunktion von $\alpha f$ und mit Lemma IV.2 folgt: $\alpha I(\zeta) = I(\alpha \zeta) \leq \int (\alpha f) d\mu$. Also: $\alpha \int f d\mu \leq \int (\alpha f) d\mu$. \\
    Ersetze $\alpha$ durch $\frac{1}{\alpha}$ von $f$ durch $(\alpha f) \implies \alpha \int f d\mu \geq \int (\alpha f) d\mu$. 
    \item[II.] $f$ integrierbar, $\alpha > 0$ $\implies \alpha \int f d\mu = \int (\alpha f) d\mu$. \\ Denn $(\alpha f)^\pm = \alpha f^\pm \\ \implies \int (\alpha f) d\mu = \int (\alpha f)^+ d\mu - \int (\alpha f)^- d\mu \overset{\text{I}}{=} \alpha \int f^+ d\mu - \alpha \int f^- d\mu = \alpha \int f d\mu$.
    \item[III.] $\int (-f) d\mu = -\int f d\mu$, denn $(-f)^\pm = f^\mp \\ \implies \int (-f) d\mu = \int (-f)^+ d\mu - \int (-f)^- d\mu = \int f^- d\mu - \int f^+ d\mu = -\int f d\mu$ \\
    \item[z.z.] Linearität für $f+g$ 
    \item[i)]$f,g \geq 0$ \\
    Satz IV.9 $\implies \exists \zeta_k,\Psi_k \in \script{T}^+(\mu)$ mit $\zeta_k \to f$, $\Psi_k \to g$ punktweise.$\implies \zeta_k + \Psi_k \to f+g$ \\
    Satz IV.10 und Lemma IV.2 \\
    $\int (f+g) d\mu = \lim\limits_{k\to\infty} \int (\zeta_k +\Psi_k ) d\mu = \lim\limits_{k\to\infty}(\int \zeta_k d\mu + \int \Psi_k d\mu) = \int f d\mu + \int g d\mu$ 
    \item[ii)] $f,g: X\to\mathbb{R}$ integrierbar \\
    Betrachte $\phi = f^+ + g^+ - (f+g)^+ \geq 0$, $\psi = f^- + g^- -(f+g)^- \geq 0$ \\
    $\implies \phi-\psi = f^+ - f^- +g^+-g^--(f+g)^++(f+g)^- = f+g-(f-g) = 0 \\
    \implies \int (f^+ + g^+) d\mu \overset{\text{i)}}{=} \int (f+g)^+ d\mu + \int \phi d\mu $ \\
    $\implies \int (f^- + g^- )d\mu \overset{\text{i)}}{=} \int (f+g)^- d\mu + \int \psi d\mu$ \\
    $\implies$ Beh.
    \item[iii)] $f,g: X\to\mathbb{\bar{R}}$ \\
    O.E. $\int f d\mu + \int g d\mu > -\infty.$ \\ 
    Also $\int f^- d\mu + \int g^- d\mu < \infty$. \\ 
    (Sonst gehe zu $-f$, $-g$ über und benutze den ersten Teil mit $\alpha = -1$) \\
    Lemma IV.8 $\implies \mu(\{f=-\infty \} \cup \{g = -\infty \}) =0\implies \{(f,g) = \pm (\infty,-\infty)  \}\in \script{M}(\mu)$ ist eines $\mu$-Nullmenge. \\
    Aus $(f+g)^- \leq f^- + g^-$ und Monotonie folgt: \\
    $\int (f+g)^- d\mu \leq \int (f^- + g^-) d\mu \overset{\text{i)}}{=} \int f^- d\mu + \int g^- d\mu < \infty \implies \int (f+g) d\mu$ ist definiert. \\
    Es gilt: \\
    $(f+g)^+ - (f+g)^- = f+g = f^+ + g^+ -(f^- + g^- )$ bzw. \\
    $(f+g)^+ + f^- +g^- = (f+g)^- +f^+ + g^+ \\
    \overset{\text{i)}}{\implies} \int (f+g)^+ d\mu + \int f^- d\mu + \int g^- d\mu = \int (f+g)^- d\mu + \int f^+ d\mu + \int g^+ d\mu$.\\
    Ist $\int f^+ d\mu + \int g^+ d\mu < \infty$, so sind alle Integrale endlich und \\ $\int (f+g) d\mu = \int (f+g)^+ d\mu - \int (f+g)^- d\mu = \int f^+ d\mu + \int g^+ d\mu - \int f^- d\mu - \int g^- d\mu = \int f d\mu + \int g d\mu$. \\
    Ist $\int f^+ d\mu + \int g^+ d\mu = \infty \implies \int (f+g)^+ d\mu = \infty \\ \implies \int (f+g) d\mu = \infty = \int f d\mu + \int g d\mu$
  \end{proof}

  \begin{definition}
    Sei $\mu$ ein äußeres Maß auf $X$ und $E \subseteq X$ sei $\mu$-messbar. Dann setzen wir, falls das rechte Integral existiert
    \begin{align*}
      \int\limits_E f d\mu = \int f \chi_E d\mu
    \end{align*}
    $f$ heißt \textbf{auf $\bm{E}$ integrierbar}, wenn $f \chi_E$ integrierbar ist.
  \end{definition}

  \begin{remark}
    Wegen $(f \chi_E)^{\pm} = f^{\pm} \chi_E \leq f^{\pm}$ existiert das Integral von $f$ über $E$ auf jeden Fall dann, wenn $\in f d\mu$ existiert. (Speziell für $f \geq 0$)
  \end{remark}

  \begin{example}
    $\alpha \in \mathbb{R}, \ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ f(x) = ||x||^{-\alpha}$\\
    Beh: 
    \begin{align*}
      \int\limits_{\mathbb{R}^n \setminus B_1(0)} f d\lambda^n < \infty &\Leftrightarrow \alpha > n\\
      \int\limits_{B_1(0)} f d\lambda^n < \infty &\Leftrightarrow \alpha < n
    \end{align*}
    Vergleiche dazu $f$ mit $g = \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} 2^{-k \alpha} \psi_{A_k}$, $A_k = \{2^k \leq ||\alpha|| < 2^{k+1}  \}$ \\
    Es gilt: \\
    $2^{-\alpha} g \leq  f \leq g$ für $\alpha > 0$ \\
    $2^{-\alpha} g \geq f \geq g$ für $\alpha \leq 0$ \\ 
    Monotonie $\implies$ Reicht die Aussagen für $g$ zu zeigen. \\
    $A_k = 2^k A_0, Y_n := \lambda^n (A_0) \in (0,\infty) \\
    \overset{\text{Satz III.16}}{\implies} \lambda^n (A_k) = (2^l) \lambda^n(A_0) = 2^{nk}Y_n\\
    \sum\limits_{k=0}^l 2^{-k\alpha}\psi_{A_k}$ konv. punktweise auf $\mathbb{R}^n$ gegen $g\psi_{\mathbb{R}^n\setminus B_1(0)}$. Folge ist monoton wachsend. \\
    $\overset{\text{Satz über Mon. Konvergenz}}{\implies} \int\limits_{\mathbb{R}^n\setminus B_1(0)} g d\lambda^n = \sum\limits_{k=0}^\infty \int 2^{-k\alpha}\psi_{A_k} d\lambda^n = Y_n \sum\limits_{k=0}^\infty 2^{n-\alpha)k} = \begin{cases}Y_n \frac{1}{1-2^{n-\alpha}} \text{falls } \alpha \geq n \\ \infty \text{ sonst } \end{cases}$ \\
    Entsprechend gilt auf $B_1(0)$ \\
    $\int\limits_{B_1(0)}g d\lambda^n = \sum\limits_{-\infty}^\infty \int 2^{-k\alpha}\psi_{A_k} d\lambda^n = Y_n \sum\limits_{k=-1}^\infty 2^{(n-\alpha)k} = \begin{cases} Y_n \frac{1}{2^{n-\alpha}-1} \text{ falls } \alpha < n \\ \infty \text{ sonst }\end{cases}$
  \end{example}

  \sidenote{Vorlesung 13}{14.12.20}
  \begin{theorem}
    Sei $f: X \to \bar{\mathbb{R}}$ $\mu$-messbar. Dann gelten:
    \begin{enumerate}[label=\roman*)]
      \item $f$ integrierbar $\Leftrightarrow |f|$ integrierbar
      \item Es gilt: $|\int f d\mu| \leq \int |f| d\mu$, falls das Integral von $f$ existiert
      \item Ist $g: X \to [0, \infty]$ $\mu$-messbar mit $|f| \leq g$ $\mu$-fast überall und $\int g d\mu < \infty$, so ist $f$ integrierbar 
    \end{enumerate}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    Es gilt $|f| = f^+ + f^-$ und Satz IV.11 impliziert $\int |f| d\mu = \int (f^+ + f^-) d\mu = \int f^+ d\mu + \int f^- d\mu \implies \text{i)} $ \\
    Ist $\int f d\mu$ definiert, so gilt $| \int f d\mu | = |\int f^+ d\mu - \int f^- d\mu | \leq \int f^+ d\mu + \int f^- d\mu = \int |f| d\mu \implies \text{ii)}$ \\
    Sei $g$ wie in iii) $\overset{\text{Satz IV.6}}{\implies} \int |f| d\mu \leq \int g d\mu \implies f$ ist integrierbar. 
  \end{proof}

  \begin{example}
    $f: \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}$ $\lambda^n$-messbar und es gelte für ein $C \in [0, \infty]$:\\
    $|f(x)| \leq C ||x||^{-\alpha}$ fast überall in $B_{\epsilon}(0)$ mit $(\alpha < n)$ bzw.\\
    $|f(x)| \leq C ||x||^{-\alpha}$ fast überall in $\mathbb{R}^n \setminus B_{\epsilon}(0)$ mit $\alpha > n$\\
    $\implies f$ ist auf $B_{\epsilon}(0)$ bzw. $\mathbb{R}^n \setminus B_{\epsilon}(0)$ integrierbar
  \end{example}